word中怎么添加补码下标（word2010添加补码下标怎么操作）

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原码、补码、反码详解

1.机器编号和真值

在学习原码、补码和补码之前，需要先了解机器数和真值的概念。

1、机器数量

数字在计算机中的二进制表示形式称为该数字的机器号。机器编号已签名。在计算机中，数字的最高位用于存储符号。正数为0，负数为1。

例如，十进制数字+3的计算机字长为8位。转换成二进制后为。如果为-3，则为。

所以，这里的和是机器号。

2.真实价值

因为第一位是符号位，所以机器号的形式值不等于实际值。例如上面的有符号数，最高位1代表负数，其实际值为-3，而不是形式上的值131。因此，为了区分，将带有符号位的机器号对应的真实值称为机器号的真实值。

示例：的真实值=+=+1，的真实值==1

2、原码、补码、补码的基本概念及计算方法。

在探讨机器为什么使用补码之前，我们先来了解一下原码、补码和补码的概念。对于一个数字，计算机必须使用一定的编码方式来存储它。原码、补码和补码是机器存储的特定数字的编码。

1.原始代码

原码是符号位的绝对值加上真值，即第一位代表符号，其余位代表数值。例如，如果是8位二进制：

[+1]原始=

[-1]原始=

第一位是符号位。因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围是：

[,]

现在

[-127,127]

原始代码是人脑最容易理解和计算的表示形式。

2.反码

其补码表示形式为：

正数的补码是它本身

负数的补码以其原码为基础，符号位不变，其余位取反。

[+1]=[]原值=[]逆值

[-1]=[]原始=[]逆

可见，如果补码代表负数，人脑无法直观地看到它的值。通常需要将其转换为原始代码，然后进行计算。

3.补码

补码的表示方法为：

正数的补码是它本身

负数的补码在其原码的基础上，符号位不变，其余位取反，最后+1。

[+1]=[]原值=[]逆值=[]补码

[-1]=[]原=[]逆=[]补

对于负数，人脑无法直观地看到二进制补码表示中的值。通常还需要将其转换为原始代码来计算其值。

3、为什么要用原码、反码、补码？

在开始深入学习之前，我的学习建议是熟记上面的原代码、补码和补码的表示以及计算方法。

现在我们知道计算机可以用三种编码方法来表示数字。对于正数，三种编码方式的结果是相同的：

[+1]=[]原值=[]逆值=[]补码

所以没必要解释太多。但对于负数：

[-1]=[]原=[]逆=[]补

可以看出，原码、补码和补码是完全不同的。既然原码是人脑直接识别并用来计算表示的，那为什么还存在补码和补码呢？

首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，所以在计算时我们会根据符号位来选择对真值区域进行加法和减法。。但对于计算机来说，加法和减法乘法器已经是最基本的运算了，应该设计得尽可能简单。计算机能够识别‘符号位’显然会让计算机的基本电路设计变得非常复杂！于是人们想出了在运算中包含符号位的方法。我们知道，根据算法，减去一个正数相当于加上一个负数，即：1-1=1+(-1)=0，所以机器只能加不能减，所以设计计算机操作更加简单。

于是人们开始探索如何让符号位参与运算而只保留加法。首先我们看一下原始代码：

计算十进制表达式：1-1=0

1-1=1+(-1)=[]原始+[]原始=[]原始=-2

如果用原码来表示数字，并且符号位也参与计算，显然减法的结果是错误的。这就是为什么计算机内部不使用原始代码来表示数字的原因。

为了解决原码相减的问题，出现了反码：

计算十进制表达式：1-1=0

1-1=1+(-1)=[]原值+[]原值=[]逆值+[]逆值=[]逆值=[]原值=-0

发现用补码进行减法运算时，结果的真值部分是正确的。唯一的问题实际上发生在特殊值“0”上。虽然人们理解+0和-0是相同的，但是0是有符号的，它没有任何意义。而且，会有两个代码，[]original和[]original，来表示0。

所以补码的出现解决了0和：这两种编码的符号问题

1-1=1+(-1)=[]原件+[]原件=[]补码+[]补码=[]补码=[]原件

这样，0就用[]来表示，之前引起问题的-0就不存在了。可以表示为[]-128:

(-1)+(-127)=[]原+[]原=[]补数+[]补数=[]补数

-1-127的结果应该是-128。在补码运算的结果中，[]的补码是-128。但注意，因为前面的-0的补码实际上是用来表示-128的，所以-128没有原码和补码表示。

使用补码不仅解决了0的符号和存在两种编码的问题，而且还可以多表示一个最小数。这就是为什么原码或补码表示的8位二进制的范围是[-127,+127]，而用补码表示的范围是[-128,127]。

因为机器使用的是二进制补码，所以对于编程中常用的32位int类型来说，因为第一位代表的是符号位，所以可以表示的范围是：[-231,231-1]。当使用二进制补码表示时，多保存一个最小值。

四原码、反码、补码及更深入

计算机巧妙地将符号位参与到运算中，将减法变成了加法。它背后有什么样的数学原理？

将时钟视为一位十六进制数。如果当前时间是6点，我想将时间设置为4点，该怎么办？我们可以：

1.回拨2小时：6-2=4

2.向前拨10小时：(6+10)mod12=4

3.向前拨10+12=22小时：(6+22)mod12=4

2,3法中的mod指的是模运算，16mod12=4，即16除以12后的余数为4。

所以将时钟向后转动的结果可以用向前转动来代替！

现在的重点是如何用正数代替负数。从上面的例子中，我们可以感受到一些端倪，发现一些规律。但数学是严谨的。我们不能依靠感觉。

首先介绍一下数学中的一个相关概念：同余

一致性的概念

如果两个整数a和b除以整数m所得的余数相等，则称这两个整数a和b模m全等。

写为a==b(modm)

读作a和b模m全等。

示例：

4模12=4

16模12=4

28模12=4

所以4、16、28模12全等。

模负数

修改正数很容易。但是负数呢？

以下是mod运算：的数学定义

上面是截图。我找不到如何输入“删除边界”符号。下面是用'L'和'J'来代替上图：中的'removebounds'符号

x模y=x-yLx/yJ

上式的意思是：

xmody等于x减去y乘以x和y的商的下限。

以-3mod2为例：

-3模2

=-3-2xL-3/2J

=-3-2xL-1.5J

=-3-2x(-2)

=-3+4=1

所以：

(-2)模12=12-2=10

(-4)模12=12-4=8

(-5)模12=12-5=7

开始证明

回到时钟问题：

向后2小时=向前10小时

向后拨4小时=向前拨8小时

向后拨5小时=向前拨7小时

注意，这里发现的模式！

结合上面学到的同余的概念。事实上，

(-2)模12=10

10模12=10

-2和10一致。

(-4)模12=8

8模12=8

-4和8一致。

我们离成功越来越近了。要将负数替换为正数，我们只需应用同余数的两个定理：

反身性：

a=a(modm)

这个定理是非常明显的。

线性运算定理：

如果a=b(modm),c=d(modm)则：

(1)ac==bd(modm)

(2)a*c==b*d(modm)

如果你想看这个定理的证明，请看：

所以：

7=7(模12)

(-2)==10(模12)

7-2==7+10(模12)

现在我们求负数的正同余。但不是7-2=7+10，而是7-27+10(mod12)，即计算结果的余数相等。

接下来我们回到二进制问题，看看：2-1=1的问题。

2-1=2+(-1)=[]原值+[]原值=[]逆值+[]逆值

让我们先进行这一步。-1的补码表示为。如果将[]视为原码，则[]原来=-126。这里去掉了符号位，认为是126。

发现以下规则：

(-1)模127=126

126模127=126

那是：

(-1)==126(模127)

2-1=2+126(模127)

2-1和2+126的余数结果是一样的！而这个余数就是我们期望的计算结果：2-1=1

所以一个数的补码实际上是这个数与膜的同余。而这个膜并不是我们的二元系统，而是能够表示的最大值！这就好比一个钟表，旋转一圈后总能在可表示的范围内找到正确的值！

而2+126显然相当于时钟转了一圈，而且由于符号位参与计算，正好与溢出的最高位形成正确的运算结果。

既然补码可以把减法变成加法，那么现在计算机使用的补码呢？为什么补码加1还能得到正确的结果呢？

2-1=2+(-1)=[]原+[]原=[]补数+[]补数

若将[]视为原码，去掉符号位，则为：

[]原始=127

事实上，基于反码的+1只相当于将膜的值增加：

(-1)模128=127

127模128=127

2-1==2+127(模128)

此时表盘相当于每128个刻度转一圈。因此，用补码表示的运算结果的最小值和最大值应为[-128,128]。

但由于0的特殊情况，没有办法表示128，所以补码的取值范围是[-128,127]

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